1. Для представления чисел по основанию 8 используются цифры 0-7.

2. Позиции разных порядков представляют собой степени числа восемь: единицы (1), восьмерки (8), 64-ки и т.д.

3. Используя п позиций, можно представить числа от О до (8п-1).

Чтобы различать числа, написанные с использованием разных оснований, это основание записывают рядом с числом как нижний индекс. Тогда число пятнадцать по основанию 10 следует записать как 15,о и читать как один, пять по основанию десять .

Таким образом, для представления числа 15io по основанию 8 следует записать Hg. Это читается как один, семь по основанию восемь . Обратите внимание, что это число также можно прочитать как пятнадцать , поскольку именно его мы и имеем в виду, просто используем другое обозначение.

Откуда взялось число 17? Цифра 1 означает одну восьмерку, а цифра 7 означает 7 единиц. Одна восьмерка плюс семь единиц равно пятнадцати. Рассмотрим пятнадцать звездочек:

Наше естественное желание - создать две фуппы: одна содержит десять звездочек, а другая - пять. В десятичной системе эта композиция представляется числом 15 (1 десяток и 5 единиц). Но те же звездочки можно сгруппировать и по-другому:

ii * * * 11 * *

* * tir *

Т.е. имеем две группы: с восемью и семью звездочками. Такое распределение звездочек может служить иллюстрацией представления числа 17 с использованием основания восемь (одна восьмерка и семь единиц).

Еще об основаниях

Число пятнадцать по основанию десять представляется как 15, по основанию девять - как 16 по основанию восемь - как Hg, а по основанию семь - как 21,. В системе счисления по основанию 7 нет цифры 8, поэтому для представления числа пятнадцать нужно использовать две семерки и одну единицу.

Как же прийти к какому-нибудь общему принципу? Чтобы преобразовать десятичное число в число с основанием 7, вспомните о значении каждой порядковой позиции. В семеричной системе счисления переход к следующему порядку будет происходить на значениях, соответствующих десятичным числам: единица, семь, сорок девять, триста сорок три и т.д. Откуда взялись эти числа? Так ведь это же степени числа семь: 7°, 7, 7\ 7 и т.д. Построим следующую таблицу:

4 3 2 1

уз 72 71 70

343 49 7 1

В первой строке представлен порядок числа. Во второй - степень числа семь, а в третьей - десятичное представление соответствующей степени числа семь.

Чтобы получить представление некоторого десятичного числа в системе счисления с основанием 7, выполните следующую процедуру. Проанализируйте, к числам какого порядка может относиться это значение. Возьмем, к примеру, число 200. Вы уже

знаете, что числа четвертого порядка в семеричной системе счисления начинаются с 343, а потому это может быть только число третьего порядка.

Чтобы узнать, сколько раз число 49 (граничное значение третьего порядка) поместится в нашем числе, разделите его на 49. В ответе получается число 4, поэтому поставьте 4 в третью позицию и рассмотрите остаток, который в данном случае тоже равен 4. Поскольку в этом остатке не укладьшается ни одной целой семерки, то во второй разряд (второй порядок) помещаем цифру 0. Нетрудно догадаться, что в остатке 4 содержится 4 единицы, поэтому и ставим цифру 4 в первую позицию (порядок единиц). В итоге получаем число 404,.

Для преобразования числа 968 в систему счисления по основанию 6 используем следующую таблицу.

В числе 968 число 1296 (фаничное значение пятого порядка) не умещается ни разу, поэтому мы имеем дело с числом четвертого порядка. При делении числа 968 на число 216 (фаничное значение четвертого порядка) получается число 4 с остатком, равным 104. В четвертую позицию ставим цифру 4. Делим остаток 104 на число 36 (фаничное значение третьего порядка). Получаем в результате деления число 2 и остаток 32. Поэтому третья позиция будет содержать цифру 2. При делении остатка 32 на число 6 (фаничное значение второго порядка) получаем 5 и остаток 2. Итак, в ответе имеем число 4252, что наглядно показано в следующей таблице:

Для обратного преобразования, т.е. из системы счисления с недесятичным основанием (например, с основанием 6) в десятичную систему, достаточно умножить каждую цифру числа на фаничное значение соответствующего порядка, а затем сложить полученные произведения:

4 * 216 864

2 * 36 = 72 5*6 = 30 2*1 = 2

I = 968

Двоичная снствма счислвния

Минимальным допустимым основанием является 2. В этом случае используются только две цифры: О и 1. Вот как выглядят порядки двоичного числа:

Для преобразования числа 88 в двоичное число (с основанием 2) выполните описанную выше процедуру. В числе 88 число 128 не укладывается ни разу, поэтому в восьмой позиции ставим 0.

В числе 88 число 64 укладывается только один раз, поэтому в седьмую позицию ставим 1, а остаток равен 24. В числе 24 число 32 не укладывается ни разу, поэтому шестая позиция содержит 0.

В числе 24 число 16 укладывается один раз, поэтому пятой цифрой двоичного числа будет 1. Остаток при этом равен 8. В остатке 8 число 8 (граничное значение четвертого порядка) укладьшается один раз, следовательно, в четвертой позиции ставим 1. Новый остаток равен нулю, поэтому в оставшихся позициях будут стоять нули.

0 10 110 0 0

Чтобы протестировать полученный ответ, вьшолним обратное преобразование:

1 . 64 = 64

0 . 32 = О

1 . 16 = 16 1*8=8 0*4=0 0*2=0 0*1=0

I = 88

Почему оменно основаное 2

Система счисления с основанием 2 более всего соответствует способу представления информации в компьютере. На самом деле компьютеры понятия не имеют ни о каких буквах, цифрах, командах или программах, поскольку представляют собой обычные электронные схемы, для которых важны только такие понятия, как сила тока и напряжение в сети.

Чтобы не усложнять себе жизнь измерениями относительной силы тока в сети (малая, меньше средней, средняя, больше средней и т.д.), разработчики первых компьютерных систем сошлись на том, что проше и надежнее отслеживать только два состояния: есть ток - нет тока. Эти состояния можно выразить словами да и нет , или истинно и ложно , или цифрами 1 и 0. По соглашению 1 означает истинно или да , но это всего лишь соглашение. С таким же успехом единица могла бы означать ложно или нет .

Теперь легко понять, почему двоичная система счисления так пришлась по душе разработчикам компьютерных систем. Последовательностями нулей и единиц, соответствующих отсутствию и наличию импульса тока в сети, можно кодировать и передавать любую информацию, подобно тому как точками и тире кодируются буквы в азбуке Морзе.

Боты, Оаоты о нолуОаоты

Если мы приняли решение кодировать данные последовательностями единиц и нулей, то минимальной единицей информации будет двоичный разряд (или бит). На заре компьютерной эры информация передавалась порциями по 8 битов, поэтому минимальной смысловой единицей (словом) в профаммировании бьшо 8-разрядное число, называемое байтом.