Рис. Г.6. Значения позиций в шеанадцатеричной сиаеме счисления

Для шестнадцатеричных чисел большей длины следующими левыми позициями будут позиции четырех тысяч девяноста шести (16 в степени 3), тридцати двух тысяч семисот шестидесяти восьми (16 в степени 4) и так далее.

Г.2. Сокращенная запись двоичных чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системах

счисления

в основном восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются для сокращенного представления длинных двоичных чисел. Рис. Г.7 подтверждает нам тот факт, что длинные двоичные числа могут быть выражены более кратко в системах счисления с более высокими основаниями.

Между восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления с одной стороны и двоичной системой с другой стороны имеется важное соотношение, заключающееся в том, что основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем (8 и 16 соответственно) являются степенями основания двоичной системы счисления. Рассмотрим приведенное ниже двоичное число, состоящее из 12 двоичных цифр, и его эквиваленты в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Возможно, вы уже догадались, как на основании указанной выше связи между системами счисления можно легко и удобно перевести двоичное число в восьмеричное или шестнадцатеричное представление. Ответ приводится ниже.

Двоичное число

Восьмеричный эквивалент числа

Шеанадцатеричный эквивалент числа

100011010001

4321

Рис. Г.7. Пример записи чисел в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной

системах счисления

Преобразовать двоичное число в восьмеричное очень просто; разбейте взятое нами для примера двоичное число из 12 цифр на группы из трех последовательных разрядов каждая и запишите под этими группами соответствующие им восьмеричные цифры следующим образом:

100 011 010 001

4 3 2 1

Обратите внимание, что восьмеричная цифра, расположенная под каждой группой из трех разрядов, равна значению этого двоичного числа из 3 цифр, в соответствии с рис. Г. 7.

Тот же самый способ применяется при преобразовании двоичных чисел в шестнадцатеричные. В нашем примере, разбейте двоичное число из 12 цифр в группы по четыре последовательных разрядов каждая и запишите под этими группами соответствующие им шестнадцатеричные цифры следующим образом:

1000 1101 0001 8 D 1

Заметьте, что шестнадцатеричная цифра, которая записана под каждой группой из четырех разрядов, соответствует шестнадцатеричному эквиваленту этого 4-х разрядного двоичного числа (см. рис. Г.7).

Г.З. Преобразование восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичные

в предыдущем разделе мы узнали, что для преобразования двоичного числа в восьмеричное или шестнадцатеричное представление достаточно разбить его на группы двоичных цифр и записать вместо этих групп соответствующие им по значению восьмеричные или шестнадцатеричные цифры. Этот процесс может использоваться в обратной последовательности для преобразования восьмеричного или шестнадцатерич-ного числа в двоичное.

Например, восьмеричное число 653 преобразовывается в двоичное число следующим образом: цифра 6 заменяется ее двоичным эквивалентом из 3 цифр 110, цифра 5 заменяется ее двоичным эквивалентом из 3 цифр 101 и цифра 3 заменяется ее двоичным эквивалентом 011; в итоге получается двоичное число 110101011 из 9 цифр.

Шестнадцатеричное число FAD5 преобразовывается в двоичное заменой цифры F на ее двоичный эквивалент из 4 цифр 1111, цифры А - на ее двоичный эквивалент 1010, цифры D - на ее двоичный эквивалент 1101 из 4 цифр и 5 - на ее двоичный эквивалент из 4 цифр 0101. В итоге получается двоичное число из 16 цифр 1111101011010101.

Г.4. Преобразование двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в десятичные

Поскольку мы приучены к работе с десятичными числами, часто бывает нужно преобразовать двоичное, восьмеричное или шестнадцатеричное число в десятичное число, чтобы узнать его более привычное значение. В таблицах раздела Г.1 приводятся значения позиций различных систем счисления, выраженные в десятичном виде. Для того, чтобы преобразовать к десятичному виду число, записанное в другой системы счисления, умножьте десятичный эквивалент каждой цифры числа на соответствующее позиционное значение и просуммируйте полученные величины. Например, двоичное число 110101 преобразовывается в десятичное число 53, как показано на рис. Г.8.

Рис. Г.8. Преобразование двоичного числа в десятичное

Для преобразования восьмеричного числа 7614 в десятичное число 3980 мы используем ту же самую методику, применяя соответствующие значения позиций восьмеричной системы счисления, как показано на рис. Г.9.

Рис. Г.9. Преобразование восьмеричного числа в десятичное